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这是我大一时学习高数的笔记, 当时还未使用笔记软件, 这里的笔记都是纸质版拍照上传的. 转成 PDF 占的内存略大, 就用 HTML 了.

这里介绍一下这份笔记的内容:

高数上

• 前三章

  • 海涅定理.
  • O' Stolz 定理.
  • 无穷小量的运算.
  • 二维与三维空间的曲率公式与曲率圆圆心. (推导)

• 第四章

  • 三角恒等式与因式分解.

  • 阿贝尔恒等式 (阿贝尔变换, 分部求和公式).

  • 积分中值定理 (第一定理与第二定理).

  • 柯西 - 施瓦茨不等式及其推论.

  • 常用积分 (指数与三角)

  • 心形线, 星形线, 摆线.

  • 巴塞尔问题的四种证法.

    ($\zeta (2m)$$\zeta(2m)$ 的一种繁琐递推解法)

  • 含参变量积分求导公式.

  • Dirichlet 积分.

  • 区间再现公式及其推论.

  • Li(x), Ei(x), Si(x), Ci(x).

  • 欧拉第一、二、三代换、倒代换.

  • 奥斯特罗格拉茨基方法.

• 第五章

  • 利用复数的积分技巧.

  • 广义欧拉乘积公式.

  • 黎曼 ζ 函数的介绍.

  • 黎曼函数的性质.

  • 正项级数与交错级数的审敛法.

  • 可展开为泰勒级数的条件.

  • 狄利克雷收敛性定理.

  • 级数的绝对收敛与无穷积分的收敛

    Abel 判别法与 Dirichlet 判别法.

  • ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{x}^m\sin nx\mathrm{d}x}$$\displaystyle \int_0^\pi x^m \sin nx \dd{x}$ 与 ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{x}^m\cos nx\mathrm{d}x}$$\displaystyle \int_0^\pi x^m \cos nx \dd{x}$.

  • 二项展开式的严格证明与推论.

    半阶乘的延拓.

  • ${\displaystyle \sum _{l=0}^{k-1}{y}^{(l)}={\mathrm{e}}^x}$$\displaystyle \sum_{l=0}^{k-1} y^{(l)} = \mathrm{e}^x$ 的同解及其推论.

  • 两道奇怪的积分与几个泰勒展开.

  • 近似计算.

  • 魏尔斯特拉斯判别法, 柯西审敛原理等.

    对数判别法.

  • 第一、第二对数判别法.

  • 傅里叶展开 (欧拉 - 傅里叶公式).

• 上册例题.

高数下

• 第六章

  • 方向角, 方向余弦, 向量积, 混合积.

  • Jacobi 恒等式, Cauchy 不等式, 矢量恒等式, Lagrange 公式, Lagrange 恒等式.

  • 关系判断

    • 向量共面
    • 三点共线 (平面直线方程)
    • 四点共面 (空间平面方程)

  • 方程

    • 平面方程: ① 点法式, ② 一般式, ③ 截距式, ④ 法线式.
    • 空间直线方程: ① 一般方程, ② 向量方程, ③ 参数方程, ④ 点向式方程 (对称式方程)

  • 求解

    • 距离: 点到直线, 点到平面, 异面直线.
    • 夹角: 直线夹角, 平面夹角, 线面夹角.

  • 曲线 (面) 系

    • 平面直线束方程
    • 空间平面束方程
    • 空间直线束方程

  • 平面解析几何

    • 点关于点对称
    • 点到线的垂足
    • 点关于线对称
    • 线关于线对称
    • 点关于点旋转
    • 线关于点旋转

  • 空间解析几何

    • 点到线的垂线
    • 点到线的距离
    • 点关于面对称
    • 面关于面对称
    • 线关于面对称
    • 线投影到平面

  • 旋转曲面与投影曲线.

  • 四平方和恒等式.

  • Rodrigues 旋转公式.

  • 空间直线位置关系.

• 第七章

  • k 次齐次函数.
  • 拉普拉斯方程
  • 隐函数的高阶或混合偏导公式.
  • 最小二乘法.
  • 拉格朗日乘数法.
  • 黑塞矩阵.
  • 例题. 以后会整理 k 次函数的性质. (下次一定)

• 第八章

  • 重积分对称性的性质.
  • 重积分换元.
  • 曲面面积公式.
  • 静矩, 惯性矩, 惯性积, 极惯性矩, 转动惯量, 形心, 质心.
  • 例题. (一些性质)

• 第九章

  • 两类曲线积分与曲面积分.
  • 格林公式.
  • 高斯系鞋带定理.
  • 二重积分的分部积分.
  • 全微分求积.
  • 凑全微分公式.
  • 曲线积分与路径无关的积分思路与全微分求积思路.
  • 高斯公式.
  • 斯托克斯公式.
  • 方向导数, 梯度, 散度, 旋度.
  • Hamilton 算子的十个运算性质.
  • 梯度, 散度, 旋度的坐标变换.
  • 曲线积分与路径无关性的等价条件.
  • 例题.

• 第十章

  • 微分方程应用 (马尔萨斯人口模型, 逻辑斯蒂人口模型, 减振模型)
  • 常用微分方程求解思路.
  • 一阶线性微分方程, 齐次方程, 常数变易法, 非齐次方程, 伯努利方程.
  • 恰当方程 (全微分方程)
  • 积分因子法.
  • 可降阶二阶微分方程.
  • n 阶常系数齐次线性微分方程.
  • 二阶常系数非齐次线性微分方程.
  • 欧拉方程.
  • 二阶线性微分方程.
  • 黎卡提方程.